HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem uncdadom 4893
Description: Cardinal addition dominates union.
Hypotheses
Ref Expression
cdaval.1 |- A e. V
cdaval.2 |- B e. V
Assertion
Ref Expression
uncdadom |- (A u. B) ~<_ (A +c B)
Proof of Theorem uncdadom
StepHypRef Expression
1 cdaval.1 . . . . . 6 |- A e. V
2 0ex 2701 . . . . . . 7 |- (/) e. V
31, 2xpsnen 4415 . . . . . 6 |- (A X. {(/)}) ~~ A
41, 3ensymi 4394 . . . . 5 |- A ~~ (A X. {(/)})
5 endom 4366 . . . . 5 |- (A ~~ (A X. {(/)}) -> A ~<_ (A X. {(/)}))
64, 5ax-mp 7 . . . 4 |- A ~<_ (A X. {(/)})
7 cdaval.2 . . . . . 6 |- B e. V
8 1on 4122 . . . . . . . 8 |- 1o e. On
98elisseti 1809 . . . . . . 7 |- 1o e. V
107, 9xpsnen 4415 . . . . . 6 |- (B X. {1o}) ~~ B
117, 10ensymi 4394 . . . . 5 |- B ~~ (B X. {1o})
12 endom 4366 . . . . 5 |- (B ~~ (B X. {1o}) -> B ~<_ (B X. {1o}))
1311, 12ax-mp 7 . . . 4 |- B ~<_ (B X. {1o})
146, 13pm3.2i 285 . . 3 |- (A ~<_ (A X. {(/)}) /\ B ~<_ (B X. {1o}))
15 xp01disj 4127 . . 3 |- ((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/)
16 p0ex 2760 . . . . 5 |- {(/)} e. V
171, 16xpex 3250 . . . 4 |- (A X. {(/)}) e. V
18 snex 2740 . . . . 5 |- {1o} e. V
197, 18xpex 3250 . . . 4 |- (B X. {1o}) e. V
2017, 7, 19undom 4418 . . 3 |- (((A ~<_ (A X. {(/)}) /\ B ~<_ (B X. {1o})) /\ ((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/)) -> (A u. B) ~<_ ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})))
2114, 15, 20mp2an 695 . 2 |- (A u. B) ~<_ ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o}))
221, 7cdaval 4892 . 2 |- (A +c B) = ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o}))
2321, 22breqtrr 2630 1 |- (A u. B) ~<_ (A +c B)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802   u. cun 2035   i^i cin 2036  (/)c0 2270  {csn 2399   class class class wbr 2609  Oncon0 2938   X. cxp 3158  (class class class)co 3948  1oc1o 4112   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349   +c ccda 4889
This theorem is referenced by:  cdadom3 4907  infunabs 7508  infdif 7511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1o 4117  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352  df-cda 4890
Copyright terms: Public domain