HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem uzrdgsuc 6241
Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in uzrdgval 6239.
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 |- C e. ZZ
om2uz.2 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
Assertion
Ref Expression
uzrdgsuc |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((rec(F, A) o. `'G)` (B + 1)) = (F` ((rec(F, A) o. `'G)` B)))
Distinct variable groups:   x,y,z   z,G   z,A   z,B   x,C,y,z
Proof of Theorem uzrdgsuc
StepHypRef Expression
1 om2uz.1 . . . . 5 |- C e. ZZ
2 peano2uz2 6149 . . . . 5 |- ((C e. ZZ /\ B e. {z e. ZZ | C <_ z}) -> (B + 1) e. {z e. ZZ | C <_ z})
31, 2mpan 693 . . . 4 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (B + 1) e. {z e. ZZ | C <_ z})
4 om2uz.2 . . . . 5 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
51, 4uzrdgval 6239 . . . 4 |- ((B + 1) e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((rec(F, A) o. `'G)` (B + 1)) = (rec(F, A)` (`'G` (B + 1))))
63, 5syl 10 . . 3 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((rec(F, A) o. `'G)` (B + 1)) = (rec(F, A)` (`'G` (B + 1))))
71, 4om2uzf1o 6238 . . . . . . . . . 10 |- G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z}
8 f1ocnv 3686 . . . . . . . . . 10 |- (G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z} -> `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-1-1-onto->om)
97, 8ax-mp 7 . . . . . . . . 9 |- `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-1-1-onto->om
10 f1of 3674 . . . . . . . . 9 |- (`'G:{z e. ZZ | C <_ z}-1-1-onto->om -> `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-->om)
119, 10ax-mp 7 . . . . . . . 8 |- `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-->om
1211ffvelrni 3800 . . . . . . 7 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (`'G` B) e. om)
131, 4om2uzsuc 6233 . . . . . . 7 |- ((`'G` B) e. om -> (G` suc (`'G` B)) = ((G` (`'G` B)) + 1))
1412, 13syl 10 . . . . . 6 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (G` suc (`'G` B)) = ((G` (`'G` B)) + 1))
15 f1ocnvfv2 3864 . . . . . . . 8 |- ((G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z} /\ B e. {z e. ZZ | C <_ z}) -> (G` (`'G` B)) = B)
167, 15mpan 693 . . . . . . 7 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (G` (`'G` B)) = B)
1716opreq1d 3960 . . . . . 6 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((G` (`'G` B)) + 1) = (B + 1))
1814, 17eqtrd 1499 . . . . 5 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (G` suc (`'G` B)) = (B + 1))
19 peano2 3140 . . . . . 6 |- ((`'G` B) e. om -> suc (`'G` B) e. om)
20 f1ocnvfv 3865 . . . . . . 7 |- ((G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z} /\ suc (`'G` B) e. om) -> ((G` suc (`'G` B)) = (B + 1) -> (`'G` (B + 1)) = suc (`'G` B)))
217, 20mpan 693 . . . . . 6 |- (suc (`'G` B) e. om -> ((G` suc (`'G` B)) = (B + 1) -> (`'G` (B + 1)) = suc (`'G` B)))
2212, 19, 213syl 20 . . . . 5 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((G` suc (`'G` B)) = (B + 1) -> (`'G` (B + 1)) = suc (`'G` B)))
2318, 22mpd 26 . . . 4 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (`'G` (B + 1)) = suc (`'G` B))
2423fveq2d 3713 . . 3 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (rec(F, A)` (`'G` (B + 1))) = (rec(F, A)` suc (`'G` B)))
25 nnont 3128 . . . 4 |- ((`'G` B) e. om -> (`'G` B) e. On)
26 rdgsuct 3930 . . . 4 |- ((`'G` B) e. On -> (rec(F, A)` suc (`'G` B)) = (F` (rec(F, A)` (`'G` B))))
2712, 25, 263syl 20 . . 3 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (rec(F, A)` suc (`'G` B)) = (F` (rec(F, A)` (`'G` B))))
286, 24, 273eqtrd 1503 . 2 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((rec(F, A) o. `'G)` (B + 1)) = (F` (rec(F, A)` (`'G` B))))
291, 4uzrdgval 6239 . . 3 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((rec(F, A) o. `'G)` B) = (rec(F, A)` (`'G` B)))
3029fveq2d 3713 . 2 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (F` ((rec(F, A) o. `'G)` B)) = (F` (rec(F, A)` (`'G` B))))
3128, 30eqtr4d 1502 1 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((rec(F, A) o. `'G)` (B + 1)) = (F` ((rec(F, A) o. `'G)` B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955  {crab 1640   class class class wbr 2609  {copab 2656  Oncon0 2938  suc csuc 2940  omcom 3121  `'ccnv 3159   |` cres 3162   o. ccom 3164  -->wf 3168  -1-1-onto->wf1o 3171  ` cfv 3172  reccrdg 3916  (class class class)co 3948  1c1 5207   + caddc 5209   <_ cle 5267  ZZcz 5270
This theorem is referenced by:  uzrdginip1 6242  seq1lem1 6246  seq1suclem 6253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083
Copyright terms: Public domain