Home

Metamath Proof Explorer

< Previous   Next > Related theorems GIF version

---

Theorem axi2m1 5257

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 19 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	⊢ ((i · i) + 1) = 0

---

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 5161	. . . . . . 7 ⊢ 0R ∈ R
2		1r 5162	. . . . . . 7 ⊢ 1R ∈ R
3	1, 2	pm3.2i 285	. . . . . 6 ⊢ (0R ∈ R ⋀ 1R ∈ R)
4		mulcnsr 5226	. . . . . 6 ⊢ (((0R ∈ R ⋀ 1R ∈ R) ⋀ (0R ∈ R ⋀ 1R ∈ R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
5	3, 3, 4	mp2an 695	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
6		00sr 5180	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
8		1idsr 5179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 1R) = 1R)
9	2, 8	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1R ·R 1R) = 1R
10	9	opreq2i 3957	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
11		m1r 5163	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1R ∈ R
12		1idsr 5179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 1R) = -1R)
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R 1R) = -1R
14	10, 13	eqtr 1487	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
15	7, 14	opreq12i 3958	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
16	1	elisseti 1809	. . . . . . . 8 ⊢ 0R ∈ V
17	11	elisseti 1809	. . . . . . . 8 ⊢ -1R ∈ V
18	16, 17	addcomsr 5168	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
19		0idsr 5178	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
20	11, 19	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
21	15, 18, 20	3eqtr 1491	. . . . . 6 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
22		00sr 5180	. . . . . . . . 9 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 0R) = 0R)
23	2, 22	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (1R ·R 0R) = 0R
24		1idsr 5179	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 1R) = 0R)
25	1, 24	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 1R) = 0R
26	23, 25	opreq12i 3958	. . . . . . 7 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
27		0idsr 5178	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
28	1, 27	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
29	26, 28	eqtr 1487	. . . . . 6 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
30	21, 29	opeq12i 2483	. . . . 5 ⊢ ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R⟩
31	5, 30	eqtr 1487	. . . 4 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R⟩
32	31	opreq1i 3956	. . 3 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
33		addresr 5228	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ⋀ 1R ∈ R) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
34	11, 2, 33	mp2an 695	. . 3 ⊢ (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩
35		m1p1sr 5173	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
36	35	opeq1i 2481	. . 3 ⊢ ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
37	32, 34, 36	3eqtr 1491	. 2 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R⟩
38		df-i 5215	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
39	38, 38	opreq12i 3958	. . 3 ⊢ (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
40		df-1 5214	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
41	39, 40	opreq12i 3958	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
42		df-0 5213	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
43	37, 41, 42	3eqtr4 1497	1 ⊢ ((i · i) + 1) = 0

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:   ⋀ wa 223   = wceq 953   ∈ wcel 955  ⟨cop 2401  (class class class)co 3948  Rcnr 4965  0Rc0r 4966  1Rc1r 4967  -1Rcm1r 4968   +R cplr 4969   ·R cmr 4970  0cc0 5206  1c1 5207  ici 5208   + caddc 5209   · cmul 5211

This theorem is referenced by:  0cn 5300  ine0 5406  ixi 5654  inelr 6665

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-plus 5217  df-mul 5218

Copyright terms: Public domain