Home

Metamath Proof Explorer

< Previous   Next > Related theorems GIF version

---

Theorem axmulass 5250

Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom 12 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulass	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℂ) → ((A · B) · C) = (A · (B · C)))

---

Proof of Theorem axmulass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 5234	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡E)
2		mulcnsrec 5236	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E · [⟨z, w⟩]◡E) = [⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩]◡E)
3		mulcnsrec 5236	. 2 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ([⟨z, w⟩]◡E · [⟨v, u⟩]◡E) = [⟨((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))), ((w ·R v) +R (z ·R u))⟩]◡E)
4		mulcnsrec 5236	. 2 ⊢ (((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R ⋀ ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ([⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩]◡E · [⟨v, u⟩]◡E) = [⟨((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) +R (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u))), ((((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) +R (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u))⟩]◡E)
5		mulcnsrec 5236	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R ⋀ ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E · [⟨((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))), ((w ·R v) +R (z ·R u))⟩]◡E) = [⟨((x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))), ((y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))⟩]◡E)
6		addclsr 5164	. . . . 5 ⊢ (((x ·R z) ∈ R ⋀ (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
7		mulclsr 5165	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ⋀ z ∈ R) → (x ·R z) ∈ R)
8		mulclsr 5165	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ⋀ w ∈ R) → (y ·R w) ∈ R)
9		m1r 5163	. . . . . . 7 ⊢ -1R ∈ R
10		mulclsr 5165	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ⋀ (y ·R w) ∈ R) → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
11	9, 10	mpan 693	. . . . . 6 ⊢ ((y ·R w) ∈ R → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
12	8, 11	syl 10	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ R ⋀ w ∈ R) → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
13	6, 7, 12	syl2an 454	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ⋀ z ∈ R) ⋀ (y ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
14	13	an4s 507	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
15		addclsr 5164	. . . . . 6 ⊢ (((y ·R z) ∈ R ⋀ (x ·R w) ∈ R) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
16		mulclsr 5165	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ⋀ z ∈ R) → (y ·R z) ∈ R)
17		mulclsr 5165	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ R ⋀ w ∈ R) → (x ·R w) ∈ R)
18	15, 16, 17	syl2an 454	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ R ⋀ z ∈ R) ⋀ (x ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
19	18	ancoms 436	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (y ∈ R ⋀ z ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
20	19	an42s 508	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
21	14, 20	jca 288	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R ⋀ ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R))
22		addclsr 5164	. . . . 5 ⊢ (((z ·R v) ∈ R ⋀ (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R) → ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R)
23		mulclsr 5165	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ R ⋀ v ∈ R) → (z ·R v) ∈ R)
24		mulclsr 5165	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ R ⋀ u ∈ R) → (w ·R u) ∈ R)
25		mulclsr 5165	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ⋀ (w ·R u) ∈ R) → (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R)
26	9, 25	mpan 693	. . . . . 6 ⊢ ((w ·R u) ∈ R → (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R)
27	24, 26	syl 10	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ R ⋀ u ∈ R) → (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R)
28	22, 23, 27	syl2an 454	. . . 4 ⊢ (((z ∈ R ⋀ v ∈ R) ⋀ (w ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R)
29	28	an4s 507	. . 3 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R)
30		addclsr 5164	. . . . . 6 ⊢ (((w ·R v) ∈ R ⋀ (z ·R u) ∈ R) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
31		mulclsr 5165	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ R ⋀ v ∈ R) → (w ·R v) ∈ R)
32		mulclsr 5165	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ R ⋀ u ∈ R) → (z ·R u) ∈ R)
33	30, 31, 32	syl2an 454	. . . . 5 ⊢ (((w ∈ R ⋀ v ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
34	33	ancoms 436	. . . 4 ⊢ (((z ∈ R ⋀ u ∈ R) ⋀ (w ∈ R ⋀ v ∈ R)) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
35	34	an42s 508	. . 3 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
36	29, 35	jca 288	. 2 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → (((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R ⋀ ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R))
37		oprex 3968	. . . 4 ⊢ (x ·R (z ·R v)) ∈ V
38		oprex 3968	. . . 4 ⊢ (x ·R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ V
39		oprex 3968	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R (w ·R v))) ∈ V
40		visset 1804	. . . . 5 ⊢ f ∈ V
41		visset 1804	. . . . 5 ⊢ g ∈ V
42	40, 41	addcomsr 5168	. . . 4 ⊢ (f +R g) = (g +R f)
43		visset 1804	. . . . 5 ⊢ h ∈ V
44	41, 43	addasssr 5169	. . . 4 ⊢ ((f +R g) +R h) = (f +R (g +R h))
45		oprex 3968	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R (z ·R u))) ∈ V
46	37, 38, 39, 42, 44, 45	caopr42 4052	. . 3 ⊢ (((x ·R (z ·R v)) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u))))) = (((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v)))) +R ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
47		oprex 3968	. . . . 5 ⊢ (z ·R v) ∈ V
48		oprex 3968	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (w ·R u)) ∈ V
49	47, 48	distrsr 5172	. . . 4 ⊢ (x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) = ((x ·R (z ·R v)) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u))))
50		oprex 3968	. . . . . . 7 ⊢ (w ·R v) ∈ V
51		oprex 3968	. . . . . . 7 ⊢ (z ·R u) ∈ V
52	50, 51	distrsr 5172	. . . . . 6 ⊢ (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))) = ((y ·R (w ·R v)) +R (y ·R (z ·R u)))
53	52	opreq2i 3957	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))) = (-1R ·R ((y ·R (w ·R v)) +R (y ·R (z ·R u))))
54		oprex 3968	. . . . . 6 ⊢ (y ·R (w ·R v)) ∈ V
55		oprex 3968	. . . . . 6 ⊢ (y ·R (z ·R u)) ∈ V
56	54, 55	distrsr 5172	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R ((y ·R (w ·R v)) +R (y ·R (z ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u))))
57	53, 56	eqtr 1487	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u))))
58	49, 57	opreq12i 3958	. . 3 ⊢ ((x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))) = (((x ·R (z ·R v)) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u)))))
59		visset 1804	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
60	9	elisseti 1809	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ V
61		visset 1804	. . . . . 6 ⊢ z ∈ V
62	40, 41	mulcomsr 5170	. . . . . 6 ⊢ (f ·R g) = (g ·R f)
63	41, 43	distrsr 5172	. . . . . 6 ⊢ (f ·R (g +R h)) = ((f ·R g) +R (f ·R h))
64		oprex 3968	. . . . . 6 ⊢ (y ·R w) ∈ V
65		visset 1804	. . . . . 6 ⊢ v ∈ V
66	41, 43	mulasssr 5171	. . . . . 6 ⊢ ((f ·R g) ·R h) = (f ·R (g ·R h))
67	59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66	caoprdilem 4054	. . . . 5 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) = ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R v)))
68		visset 1804	. . . . . . . 8 ⊢ w ∈ V
69	68, 65	mulasssr 5171	. . . . . . 7 ⊢ ((y ·R w) ·R v) = (y ·R (w ·R v))
70	69	opreq2i 3957	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R ((y ·R w) ·R v)) = (-1R ·R (y ·R (w ·R v)))
71	70	opreq2i 3957	. . . . 5 ⊢ ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R v))) = ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v))))
72	67, 71	eqtr 1487	. . . 4 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) = ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v))))
73		visset 1804	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
74		visset 1804	. . . . . . 7 ⊢ u ∈ V
75	73, 59, 61, 62, 63, 68, 74, 66	caoprdilem 4054	. . . . . 6 ⊢ (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u) = ((y ·R (z ·R u)) +R (x ·R (w ·R u)))
76	75	opreq2i 3957	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u)) = (-1R ·R ((y ·R (z ·R u)) +R (x ·R (w ·R u))))
77		oprex 3968	. . . . . 6 ⊢ (x ·R (w ·R u)) ∈ V
78	55, 77	distrsr 5172	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R ((y ·R (z ·R u)) +R (x ·R (w ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (-1R ·R (x ·R (w ·R u))))
79		oprex 3968	. . . . . . 7 ⊢ (w ·R u) ∈ V
80	60, 59, 79, 62, 66	caopr12 4047	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R (x ·R (w ·R u))) = (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))
81	80	opreq2i 3957	. . . . 5 ⊢ ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (-1R ·R (x ·R (w ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u))))
82	76, 78, 81	3eqtr 1491	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u)) = ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u))))
83	72, 82	opreq12i 3958	. . 3 ⊢ ((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) +R (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u))) = (((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v)))) +R ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
84	46, 58, 83	3eqtr4r 1498	. 2 ⊢ ((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) +R (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u))) = ((x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))))
85		oprex 3968	. . . 4 ⊢ (y ·R (z ·R v)) ∈ V
86		oprex 3968	. . . 4 ⊢ (y ·R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ V
87		oprex 3968	. . . 4 ⊢ (x ·R (w ·R v)) ∈ V
88		oprex 3968	. . . 4 ⊢ (x ·R (z ·R u)) ∈ V
89	85, 86, 87, 42, 44, 88	caopr42 4052	. . 3 ⊢ (((y ·R (z ·R v)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((x ·R (w ·R v)) +R (x ·R (z ·R u)))) = (((y ·R (z ·R v)) +R (x ·R (w ·R v))) +R ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
90	47, 48	distrsr 5172	. . . 4 ⊢ (y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) = ((y ·R (z ·R v)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u))))
91	50, 51	distrsr 5172	. . . 4 ⊢ (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))) = ((x ·R (w ·R v)) +R (x ·R (z ·R u)))
92	90, 91	opreq12i 3958	. . 3 ⊢ ((y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))) = (((y ·R (z ·R v)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((x ·R (w ·R v)) +R (x ·R (z ·R u))))
93	73, 59, 61, 62, 63, 68, 65, 66	caoprdilem 4054	. . . 4 ⊢ (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) = ((y ·R (z ·R v)) +R (x ·R (w ·R v)))
94	59, 60, 61, 62, 63, 64, 74, 66	caoprdilem 4054	. . . . 5 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u) = ((x ·R (z ·R u)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R u)))
95	68, 74	mulasssr 5171	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ·R w) ·R u) = (y ·R (w ·R u))
96	95	opreq2i 3957	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ·R ((y ·R w) ·R u)) = (-1R ·R (y ·R (w ·R u)))
97	60, 73, 79, 62, 66	caopr12 4047	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ·R (y ·R (w ·R u))) = (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))
98	96, 97	eqtr 1487	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R ((y ·R w) ·R u)) = (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))
99	98	opreq2i 3957	. . . . 5 ⊢ ((x ·R (z ·R u)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R u))) = ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u))))
100	94, 99	eqtr 1487	. . . 4 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u) = ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u))))
101	93, 100	opreq12i 3958	. . 3 ⊢ ((((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) +R (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u)) = (((y ·R (z ·R v)) +R (x ·R (w ·R v))) +R ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
102	89, 92, 101	3eqtr4r 1498	. 2 ⊢ ((((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) +R (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u)) = ((y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))
103	1, 2, 3, 4, 5, 21, 36, 84, 102	ecoprass 4304	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℂ) → ((A · B) · C) = (A · (B · C)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 773   = wceq 953   ∈ wcel 955  Ecep 2819  ◡ccnv 3159  (class class class)co 3948  Rcnr 4965  -1Rcm1r 4968   +R cplr 4969   ·R cmr 4970  ℂcc 5204   · cmul 5211

This theorem is referenced by:  mulasst 5280  mulass 5297  mul12t 5390  mul23t 5391  mul4t 5392  recext 5657  mulcan 5659  receu 5670  divasst 5704  divdivdivt 5741  conjmult 5753  expaddt 6527  imcjt 6754  faclbnd 6882  faclbnd5 6890  faclbnd6 6891  binomlem1 7004  binomlem2 7005  cvgratlem1ALT 7182  cvgratlem1 7185  ablmul 8068  cnring 8099  cnvc 8140  ipasslem4 8424  ipasslem5 8425  ipasslem11 8431  circgrpOLD 8658  pjthlem6 9139  leopnmidt 9982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-m1r 5145  df-c 5212  df-mul 5218

Copyright terms: Public domain