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Theorem axrrecex 5256

Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. Axiom 18 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axrrecex	⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ A ≠ 0) → ∃x ∈ ℝ (A · x) = 1)

Distinct variable group:   x,A

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Proof of Theorem axrrecex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5222	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ ↔ ∃y(y ∈ R ⋀ ⟨y, 0R⟩ = A))
2		neeq1 1582	. . . 4 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = A → (⟨y, 0R⟩ ≠ 0 ↔ A ≠ 0))
3		opreq1 3953	. . . . . 6 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = A → (⟨y, 0R⟩ · x) = (A · x))
4	3	eqeq1d 1475	. . . . 5 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = A → ((⟨y, 0R⟩ · x) = 1 ↔ (A · x) = 1))
5	4	rexbidv 1656	. . . 4 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = A → (∃x ∈ ℝ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1 ↔ ∃x ∈ ℝ (A · x) = 1))
6	2, 5	imbi12d 624	. . 3 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = A → ((⟨y, 0R⟩ ≠ 0 → ∃x ∈ ℝ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1) ↔ (A ≠ 0 → ∃x ∈ ℝ (A · x) = 1)))
7		visset 1804	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
8	7	recexsr 5188	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ R → (¬ y = 0R → ∃z(z ∈ R ⋀ (y ·R z) = 1R)))
9		visset 1804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ z ∈ V
10	9	mulresr 5229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ R ⋀ z ∈ R) → (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = ⟨(y ·R z), 0R⟩)
11	10	eqeq1d 1475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ R ⋀ z ∈ R) → ((⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1 ↔ ⟨(y ·R z), 0R⟩ = 1))
12		df-1 5214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
13	12	eqeq2i 1477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨(y ·R z), 0R⟩ = 1 ↔ ⟨(y ·R z), 0R⟩ = ⟨1R, 0R⟩)
14		oprex 3968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ·R z) ∈ V
15	14	eqresr 5227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨(y ·R z), 0R⟩ = ⟨1R, 0R⟩ ↔ (y ·R z) = 1R)
16	13, 15	bitr 173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨(y ·R z), 0R⟩ = 1 ↔ (y ·R z) = 1R)
17	11, 16	syl6bb 534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ R ⋀ z ∈ R) → ((⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1 ↔ (y ·R z) = 1R))
18	17	pm5.32da 647	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ R → ((z ∈ R ⋀ (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1) ↔ (z ∈ R ⋀ (y ·R z) = 1R)))
19		opelreal 5221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ z ∈ R)
20	19	anbi1i 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ⋀ (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1) ↔ (z ∈ R ⋀ (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1))
21	18, 20	syl5bb 530	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ R → ((⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ⋀ (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1) ↔ (z ∈ R ⋀ (y ·R z) = 1R)))
22		opex 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨z, 0R⟩ ∈ V
23		eleq1 1526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = ⟨z, 0R⟩ → (x ∈ ℝ ↔ ⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ))
24		opreq2 3954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = ⟨z, 0R⟩ → (⟨y, 0R⟩ · x) = (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩))
25	24	eqeq1d 1475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = ⟨z, 0R⟩ → ((⟨y, 0R⟩ · x) = 1 ↔ (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1))
26	23, 25	anbi12d 626	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = ⟨z, 0R⟩ → ((x ∈ ℝ ⋀ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1) ↔ (⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ⋀ (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1)))
27	22, 26	cla4ev 1860	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨z, 0R⟩ ∈ ℝ ⋀ (⟨y, 0R⟩ · ⟨z, 0R⟩) = 1) → ∃x(x ∈ ℝ ⋀ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1))
28	21, 27	syl6bir 215	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ R → ((z ∈ R ⋀ (y ·R z) = 1R) → ∃x(x ∈ ℝ ⋀ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1)))
29	28	19.23adv 1209	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ R → (∃z(z ∈ R ⋀ (y ·R z) = 1R) → ∃x(x ∈ ℝ ⋀ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1)))
30	8, 29	syld 27	. . . . 5 ⊢ (y ∈ R → (¬ y = 0R → ∃x(x ∈ ℝ ⋀ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1)))
31		df-0 5213	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
32	31	eqeq2i 1477	. . . . . . 7 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = 0 ↔ ⟨y, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩)
33	7	eqresr 5227	. . . . . . 7 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩ ↔ y = 0R)
34	32, 33	bitr 173	. . . . . 6 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = 0 ↔ y = 0R)
35	34	negbii 187	. . . . 5 ⊢ (¬ ⟨y, 0R⟩ = 0 ↔ ¬ y = 0R)
36	30, 35	syl5ib 206	. . . 4 ⊢ (y ∈ R → (¬ ⟨y, 0R⟩ = 0 → ∃x(x ∈ ℝ ⋀ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1)))
37		df-ne 1579	. . . 4 ⊢ (⟨y, 0R⟩ ≠ 0 ↔ ¬ ⟨y, 0R⟩ = 0)
38		df-rex 1642	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ℝ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1 ↔ ∃x(x ∈ ℝ ⋀ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1))
39	36, 37, 38	3imtr4g 551	. . 3 ⊢ (y ∈ R → (⟨y, 0R⟩ ≠ 0 → ∃x ∈ ℝ (⟨y, 0R⟩ · x) = 1))
40	1, 6, 39	gencl 1819	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → (A ≠ 0 → ∃x ∈ ℝ (A · x) = 1))
41	40	imp 350	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ A ≠ 0) → ∃x ∈ ℝ (A · x) = 1)

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 953   ∈ wcel 955  ∃wex 977   ≠ wne 1577  ∃wrex 1638  ⟨cop 2401  (class class class)co 3948  Rcnr 4965  0Rc0r 4966  1Rc1r 4967   ·R cmr 4970  ℝcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   · cmul 5211

This theorem is referenced by:  1re 5407  recext 5657  redivcl 5754

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-r 5216  df-mul 5218

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